Abstrakt

Es sieht danach aus, in der Schlußfolgerung dies betonen zu müssen, daß G. Cantor die Idee des Logizismus antipiziert hat, welche von ihm fast gegenwärtigen G. Frege und eine Generation jüngeren B. Russell sowie A. N. Whitehead präsentiert wurde. Er hat nicht nur die Ansicht über die Möglichkeit einer Systematisierung der Mathematik vertreten, sondern hat auch tatsächlich dazu beigetragen, daß im neunzehnten Jahrhundert ihre Arithmetisation durchgeführt wurde. Die Errungenschaft von G. Cantor bestand darin, daß er das Modell der Theorie der Realzahlen im Gebiet der Rationalzahlen errichtet hat. Ein wesentlichen Mangel seiner Forschungsarbeiten bestand darin, daß er sich – im Gegensatz zu den Logizisten – der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen nicht bedient hat. Diese Axiomatik bildete nämlich gleichzeitig eine Axiomensammlung der ganzen arithmetisierten Mathematik. G. Cantor präsentierte in ähnlicher Weise wie die Logizisten, die Ansicht über einer reduzierung der arithmetisierten Mathematik zu einer Grundtheorie. Seiner Überzeugung nach, sollte jene Theorie die Mengenlehre sein, dagegen nach der Meinung der Logizisten, die Logik. Der deutsche Mathematiker behauptete, daß man bei der Ableitung der Mathematik von der Mengenlehre sich des mengenlehreartigen Begriffs der Ordnungstypen bedienen sollte. Bei der Realisation ihres Programmes definierten die Logizisten die Grundbegriffe der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen mit Hilfe des verwandten Begriffs der Kardinalzahl. Man muß stark betonen, daß G. Cantor nur die Idee einer Reduzierung der Mathematik zu einer Grundtheorie präsentiert hat. Da der deutsche Mathematiker sich der Axiomatik der Arithmetik nicht bedient hat, war er nicht im Stande dieses Programm zu verwirklichen. Die Logizisten dagegen, haben ihre Idee der Ableitung der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts von der Logik durchgeführt. Das war jedoch eine Logik, welche eigenartig verstanden wurde. Die Typentheorie von B. Russell und A. N. Whitehead enthielt manche mengenlehreartige Axiome. Man kann also diese Theorie (wenigstens) als ein Fragment der Mengenlehre betrachten. Somit endgültig – wenn man die Mengenlehre als einen Wissenschaftszweig, welcher nicht zur Logik gehört behandelt – kann man behaupten, daß die Logixistendie Idee von G. Cantor, bezüglich der Reduktion der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts zur Mengenlehre, durchgeführt haben. Gegenwärtig wird nicht über die Reduzierung der Mathematik zur Logik gesprochen. Dagegen bemüten sich die Gelehrten, die mit einer Mathematikergruppe, welche mit dem Pseudonym N. Bourbaki bezeichnet wird, in Verbindung stehen, das Programm der Ableitung der ganzen gegenwärtigen Mathematik von der Mengenlehre zu realisieren.